Matematika

1.            HAKEKAT MATEMATIKA

Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten.

Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.

Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur-struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang menurut Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.

Berdasarkan uraian di atas, agar supaya simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan. Misalnya simbol (x,y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A (1,2), B (6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis x = 1 dan y = 2 titik B ( 6, 9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis x = 6 dan y = 9. Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.

Soedjadi (2000:1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:

a)   Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik

b)   Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi

c)   Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.

d)  Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.

e)   Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis.

f)    Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:

a)   Matematika sebagai struktur yang terorganisir.

Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat).

b)   Matematika sebagai alat (tool).

Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.

c)   Matematika sebagai pola pikir deduktif.

Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).

d)  Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking).

Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.

e)   Matematika sebagai bahasa artifisial.

Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.

f)    Matematika sebagai seni yang kreatif.

Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

Ada yang berpendapat lain tentang matematika yakni pengetahuan mengenai kuantiti dan ruang, salah satu cabang dari sekian banyak cabang ilmu yang sistematis, teratur, dan eksak. Matematika adalah angka-angka dan perhitungan yang merupakan bagian dari hidup manusia. Matematika menolong manusia menafsirkan secara eksak berbagai ide dan kesimpulan-kesimpulan. Matematika adalah pengetahuan atau ilmu mengenai logika dan problem-problem numerik. Matematika membahas faka-fakta dan hubungan-hubungannya, serta membahas problem ruang dan waktu. Matematika adalah queen of science (ratunya ilmu). (Sutrisman dan G. Tambunan, 1987: 2-4)

Fungsi Pembelajaran Matematika :

1.      Matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi pengukuran dan geometri, aljabar, peluang dan statistika, kalkulus dan trigonometri.

2.      Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel.

Tujuan Pembelajaran Matematika :

1.      Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi.

2.      Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.

3.      Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.

4.      Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan.

2.         KARAKTERISTIK MATEMATIKA

Karakteristik Matematika secara umum :

1. Memiliki objek kajian abstrak

Karakteristik matematika memiliki kajian Objek Abstrak disebut juga objek mental yang ada dalam pikiran. Meliputi objek dasar: (1)fakta, (2)konsep, (3)definisi, (4)operasi, (5)prinsip. Dari objek dasar disusun suatu pola dan struktur matematika:

Fakta (abstrak)

Berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” bs dipahami bilangan tiga. Fakta “3 + 4” dipahami sebagai “tiga ditambah empat”. Fakta “3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15”. Simbol “//” bermakna sejajar (a,b) sebagai pasangan berurutan 

Konsep

Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikan sekumpulan objek “segitiga” merupakan nama suatu konsep abstrak: bisa digunakan untuk membedakan contoh segitiga atau bukan. Contoh lain: “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, vektor, group, dan ruang metrik”.

Definisi

Ungkapan yang membatasi sebuah konsep, (1) “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau (2) ”trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya”. Kedua definisi memiliki intensi yang berbeda tetapi memiliki ekstensi yang sama. Untuk menguji kesamaan ekstensi diberikan dengan pertanyaan, “adakah trapesium menurut definisi 1 yang tidak termasuk dalam trapesium menurut definisi 2 atau sebaliknya?”. Definisi 1 termasuk definisi analitis: definisi yang menyebutkan genus proksimum (genus terdejat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus). Definisi 2 termasuk def genetik: definisi yang menyebut bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. Jenis definisi 3, definisi dengan rumus: (1) a – b = a + (-b), (2) n! = n(n-1)! 

Operasi

Suatu fungsi (aturan) untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar atau pengerjaan matematika yang lain. Operasi: unair (melibatkan satu elemen), biner (melibatkan dua elemen), terner (melibatkan lebih dari dua elemen). Unair: “tambah tiga”, komplemen, akar, dsb. Biner: “gabungan”, penjumlahan, perkalian, dsb.

Prinsip

Objek matematika yang kompleks terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi atau operasi, aksioma, teorema, sifat, dsb. 

2. Bertumpu pada kesepakatan

Bertumpu pada Kesepakatan Aksioma (postulat): pernyataan pangkal yang sering dinyatakan tetap tidak perlu dibuktikan; untuk menghindarkan berputar-putarnya dalam pembuktian. Konsep primitif: undefined term (pengertian yang tidak perlu didefinisikan). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan lemma dan teorema.

3. Berpola pikir deduktif

Pola pikir deduktif berpangkal dari hal yang umum diterapkan atau di arahkan ke hal yang bersifat khusus. Ketika anak sudah mengenal konsep “persegi’, selanjutnya anak mengamati lingkungan sekitar, dan dapat mengatakan bangun-bangun yang diamati merupakan persegi atau bukan. Dari hasil pengamatan diperoleh teori pitagoras, tetap harus dibuktikan secara umum.

4. Memiliki simbol yang kosong dari arti

Maksudnya, bekerja dalam matematika seringkali menggunakan simbol. Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika. Model matematika dapat berupa: persamaan, pertaksamaan, bangun geometri. Model z = x + y masih kosong dari arti, tergantung dari permasalahan yang menyebabkan model itu, bisa bilangan, bisa matriks, bisa vektor dsb. Kosong dari arti membawa konsekuensi: memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu yang lain.

5. Memperhatikan semesta pembicaraan

Memperhatikan semesta pembicaraan. Apa maksudnya? Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai.  Bila ruang lingkupnya bilangan, berarti x, y, dan z adalah simbol bilangan. Sebagai contoh:  Dalam ruang lingkup bilangan bulat, penyelesaian 2x = 7 adalah tidak ada.

6. Konsisten dalam sistemnya/rumusnya

Konsisten dalam sistemnya. Maksudnya dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri saling lepas. Dalam sistem aljabar ada sistem-sistem lagi yang saling terkait.  Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi. Contoh: dalam geometri Euclides jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180 derajat. Sedangkan di geometri non Euclides jumlah sudut-sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

3.         MATEMATIKA SEKOLAH

            Banyak guru mulai menggunakan apa yang disebut “pendekatan standar” pembelajaran yang lebih kooperatif, lebih menekankan pada konsep dan pemecahan soal dan toleransi yang luas terhadap penggunaan kalkulator. Perubahan-perubahan ini sering tidak mendasar dan tidak benar-benar mengubah sifat apa yang siswa kerjakan dan bagaiman mereka berfikir di dalam pelajaran matematika.

Kebanyak orang berfikir bahwa matematika adalah sebuah mata pelajaran yang penting tetapi hanya sebagian yang memahami apa sebenarnya matematika itu. Untuk kebanyakan orang, mengataklan bahwa matematika adalah kumpulan aturan yang harus dimengerti, perhitungan-perhitungan aritmetika, persamaan aljabar yang abstrak dan bukti-bukti geometris dan lain sebagainya. Pandangan ini sangat berbeda dengan pandangan terhadap matematika yang memberti arti objek-objek matematika seperti data, bentuk perubahan atau pola.

Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat diantara matematikawan, apa yang disebut matematika. Sasaran penalaran matematika tidak konkrit melainkan abstrak. Dengan mengetahui sasaran matematika kita dapat mengetahui hakekat matematika yang sekaligus dapat kita ketahui juga cara berfikir matematika itu. (Herman Hudodo, 1988; 2)

Kalau kita telaah bahwa matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya melainkan, juga unsur ruang sebagai sasarannya. Bagaimana pandangan ini bisa menjadi lazim di masyarakat kita?. Jawaban terbaik dapat ditemukan dalam pendekatan yang digunakan guru dalam mengajar matematika. Memang pengajaran tradisional masih merupakan pola pengajaran utama, karena tuntutan dan tanggungan yang cukup berat bagi guru, Yang biasanya diawali dengan penjelasan tentang ide-ide yang terdapat dalam halaman buku yang dipelajari, kemudian diikuti dengan menunjukan kepada siswa bagaiman mengerjakan latihan soal. Bahkan ketika siswa berkegiatan, guru masih menuntun siswa bagaimana menggunakan materi yang dipelajari untuk menjawab soal.

Kalau dilihat dari tuntuan KTSP tentang pembelajaran matematika maka cara tersebut diatas jauh dari tujuan yang diharapkan. Coba kita lihat dari standar isi dan standar kompetensi dan kompetensi dasar di situ jelas pada setiap langkah dijelaskan bahwa matematika menggunakan metode pemecahan masalah dengan tujuan untuk meningkatkan daya fikir siswa yang kreatif. Akan tetapi kembali lagi kepada persoalan tuntutan tadi.

Matamtika adalah ilmu tentang pola dan urutan (Jhon A. Van De walle, 2006, 13) Difinisi ini menantang pandangan masyarakat terhadap matematika sebagai ilmu yang didominasi oleh perhitungan. Ilmu pengetahuan merupakan proses penggambaran sesuatu atau memberi arti tentang sesuatu. Memang ilmu pengtahuan berawal dari soal tetapi pada suatu situasi. Meskipun mungkin kita tidak pernah memikirkannya, matematika adalah ilmu tentang sesuatu yang memiliki pola keteraturan dan urutan yang logis. Menemukan dan mengungkapkan keteraturan atau urutan ini dan kemudian memberikan arti merupakan makna dari mengerjakan matematika.

Sebagai contoh, pernahkah kita sebagi seorang guru memikirkan bahwa penjumlahan      6 + 7 = 5 + 8 dan 4 + 9? Bagaimana polanya?, Bagaiman hubungannya? atau contoh lain jika dua bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil maka hasilnya adalah bilangan ganjil, tetapi jika dua bilangan ganjil di jumlahkan atau dikurangkan hasilnya adalah bilangan genap.

Adapun perinsip dan standar matematika sekolah dirancang untuk memberikan petunjuk dan arahan bagi para guru dan pihak-pihak lain yang terkait dengan pembelajaran matematika. Salah satu ciri yang paling penting dari prinsip-prinsip dan standar matematika sekolah adalah adanya enam prinsip dasar untuk mencapai pendidikan matematika yang berkualitas tinggi yaitu:

1. Prinsip Kesetaraaan

Peran yang kuat dari prinsip kesetaraan adalah harapan yang tinggi utnuk semua siswa. Semua siswa harus mempunyai kesempatan dan dukungan yang cukup untuk belajar matematika “tampa memandang karakteristik persoalan, latar belakang atau hambatan fisik”.

2. Prinsip Kurikulum

Koheren berkaitan dengan pentingnya membangun atau mengembangkan pengajaran seputar ide-ide baik di dalam kurikulum maupun pengajaran di dalam kelas. Para siswa harus dibantu untuk melihat bahwa matematika merupakan sesuatu yang utuh dan terjalin. Bukan kumpulan bagian-bagian yang terlepas. Ide-ide matematika itu penting jika ide-ide itu berguna bagi pengembangan yang lain, menghubungkan ide yang satu dengan yang lainya, atau membantu mengilustrasikan mata pelajaran matematika sebagai usaha manusia.

3. Prinsip Pengajaran

Apa yang siswa pelajari hampir seluruhnya tergantung pada pengalaman guru mengajar di dalam kelas setiap hari. Untuk mencapai pendidikan yang berkualitas para guru harus (1) memahami secara mendalam matematika yang mereka ajarkan; (2) memahami bagaimana siswa belajar matematika, termasuk didalamnya mengetahui perkembangan matematika siswa secara individu, dan (3) memilih tugas-tugas dan strategi yang akan meningkatkan mutu proses pengajaran. Tugas para giuru adalah mendorong siswanya untuk berfikir, bertanya, menyelesaikan soal, dan mendiskusikan ide-ide juga strategi.

4. Prinsip Pembelajaran

Prinsip ini didasari pada dua ide dasar, yang pertama, belajar matematika dengan pemahaman, adalah penting. Belajar matematika tidak hanya memerlukan keterampilan menghitung tetapi juga memerlukan kecakapan untuk berfikir. Yang kedua prinsip-prinsip ini dengan sangat jelas menyatakan bahwa siswa dapat belajar matematika dengan pemahaman. Belajar ditingkatkan dalam kelas dengan cara para siswa diminta utuk menilai ide-ide mereka atau ide-ide temannya, didorong untuk membuat dugaan tentang matematika lalu mengujinya dan mengembangkan keterampilan dan memberi alasan yang logis.

5. Prinsip Penilaian

Penilaian harus tidak semata-mata untuk menilai siswa, akan tetapi lebih pada menilai diri sendiri sebagai guru dan harus dimanfaatkan juga untuk siswa yakni untuk menggairahkan untuk meningkatkan belajarnya. Penilaian yang melibatkan pengamatan yang terus menerus dan interaksi siswa, akan mendorong siswa untuk menyampaikan dan menjelaskan gagasan dengan lancar. Umpan balik dari penilaian harian akan membantu siswa mencapai tujuannya dan menjadikan mereka tidak selalu bergantung kepada orang lain.

6. Prinsip Tehnologi

Kalkulator dan komputer harus dilihat sebagai alat yang penting dalam belajar dan mengerjakan matematika di kelas. Tehnologi memungkinkan siswa untuk memfokuskan diri pada ide-ide matematika, pemahaman, dan menyelesaikan soal, yang tidak mungkin dikerjakan tanpa bantuan kalkulator atau komputer. Tehnologi meningkatkan proses belajar matematika karena memungkinkan eksplorasi yang lebih luas dan memperbaiki penyajian ide-ide matematika. Dengan tehnologi lebih banyak soal dapat dipecahkan. Dengan tehnologi juga memungkinkan siswa tertentu untuk mengesampingkan bagian yang kurang penting sehingga waktunya dapat dipakai memahami bagian matematika yang penting.